Modellazione matematica con catene markoviane e metodi stocastici - manichini

Un modello stocastico > è uno strumento che è possibile utilizzare per stimare i risultati probabili quando una o più variabili del modello vengono modificate casualmente. Una catena di Markov - chiamata anche catena di Markov discreta nel tempo - è un processo stocastico che funge da metodo matematico per concatenare una serie di variabili generate casualmente che rappresentano lo stato presente al fine di modellare come i cambiamenti nei presenti le variabili di stato influenzano gli stati futuri.

Immagina che ami viaggiare ma che viaggi solo verso luoghi che sono a) un paradiso tropicale, b) città ultramoderne, o c) montagnose nella loro maestosità. Al momento di scegliere dove viaggiare in seguito, si prendono sempre le decisioni in base alle seguenti regole:

Si viaggia esattamente una volta ogni due mesi.

• Se viaggi in qualche luogo tropicale oggi, dopo andrai in una città ultramoderna (con una probabilità di 7/10) o in un posto in montagna (con una probabilità di 3/10), ma non viaggeresti un altro paradiso tropicale dopo.

• Se oggi viaggi in una città ultramoderna, viaggerai vicino ad un paradiso tropicale o una regione montuosa con uguale probabilità, ma sicuramente non in un'altra città ultramoderna.

• Se viaggi in montagna oggi, viaggerai vicino a un paradiso tropicale (con probabilità di 7/10) o una città ultramoderna (con una probabilità di 2/10) o una diversa regione montuosa (con un prob -abilità di 1/10).

• Perché la tua scelta su dove viaggiare domani dipende esclusivamente da dove viaggi oggi e non da dove hai viaggiato in passato, puoi usare un tipo speciale di modello statistico noto come catena Markov per modella il tuo processo decisionale sulla destinazione. Inoltre, puoi utilizzare questo modello per generare statistiche per prevedere quanti dei tuoi giorni di vacanza futuri trascorrerai in viaggio verso un paradiso tropicale, una maestà montuosa o una città ultramoderna.

Guardando un po 'più vicino a quello che sta succedendo qui, lo scenario sopra descritto rappresenta sia un modello stocastico che un metodo a catena di Markov. Il modello include una o più variabili casuali e mostra come i cambiamenti in queste variabili influenzano i risultati previsti. Nei metodi Markov, gli stati futuri devono dipendere dal valore dello stato presente ed essere condizionalmente indipendenti da tutti gli stati passati.

È possibile utilizzare le catene Markov come strumento di scienza dei dati creando un modello che genera stime predittive per il valore dei futuri punti di dati in base a ciò che si conosce sul valore dei punti di dati correnti in un set di dati.Per prevedere gli stati futuri basati esclusivamente su ciò che sta accadendo nello stato corrente di un sistema, utilizzare le catene Markov.

Le catene Markov sono estremamente utili per modellare una varietà di processi del mondo reale. Sono comunemente usati in modelli di scambio di borsa, in modelli di prezzi finanziari, in sistemi di riconoscimento vocale, in ricerca di pagine web e sistemi di classificazione, in sistemi termodinamici, in sistemi di regolazione genica, in modelli di stima dello stato, per il riconoscimento di modelli e per la modellazione della popolazione.

Un metodo importante nelle catene Markov è nei processi di Markov chain Monte Carlo (MCMC). Una catena di Markov raggiungerà infine un

stato stazionario - una serie di probabilità a lungo termine per gli stati della catena. È possibile utilizzare questa caratteristica per derivare le distribuzioni di probabilità e quindi campionare da tali distribuzioni utilizzando il campionamento Monte Carlo per generare stime a lungo termine degli stati futuri.